Onko 0 parillinen vai pariton luku?

Julkaistu 25.5.2024. Aiheet: Suomeksi, Matematiikka, Nolla.

Aika monesti sanotaan, että luvun parillisuuden voi selvittää siten, että jos luvun jakaa kahdella, eikä mitään jää yli, niin luku on parillinen.

Esimerkiksi luvun $8$ näkee helposti olevan parillinen, koska $8/2=4$ eli meille ei jää ylimääräisiä osia. Sanotaan, että jako menee tasan.

Sen voi ajatella sitäkin kautta, että jos 8 vesimelonia (koska jaettavat ovat aina jättimäisiä asioita) jaetaan kahdelle henkilölle, niin saavatko molemmat yhtä monta? Tässä tapauksessa kyllä.

Vastaavasti luku $5$ ei ole parillinen, koska jaettuna kahdella meille jää yksi yli $5/2=2\text{, jää yli }1$. Sanotaan, että jako ei mene tasan.

Entäs 0?

Nollan voi jakaa luvulla 2 ja jako menee tosiaan 'tasan'. Tasan siinä mielessä, että mitään ei jää yli. Toisaalta mitään ei jäisi yli myöskään jakamalla 0 millä vain luvulla.

Ei siis tunnu kovin tyydyttävältä vastaukselta, että 0 menee jakaessa tasan luvulla 2 ja siksi se olisi parillinen. Se voi toki jollekulle riittää, mutta nyt se ei riitä meille!

Visuaalinen selitys

Jos piirretään lukujana, niin siitä näkee aika selkeästi, että joka toisen luvun ollessa parillinen ja joka toisen pariton, niin nolla jää kivasti parittomien lukujen väliin. Tästä voisi jo päätellä, että nolla on parillinen.

Entä jos tämäkään selitys ei riitä?

Miltä parilliset luvut näyttävät?

Jotenkin luku 2 liittyy kaikkiin parillisiin lukuihin. Sillä jaettaessa jäljelle pitäisi jäädä 'tasan mennyt luku'. Mitä tämä tarkoittaa?

Tällainen 'tasan mennyt luku' on kokonaisluku. Kaikkia kokonaislukuja sanotaan kokonaislukujen joukoksi ja sitä merkitään symbolilla ℤ (englanniksi "doublestruck z", suomeksi "kaksoisviiva z").

Voidaan siis sanoa, että jos luku $x$ jaetaan luvulla 2 ja lopputuloksena on jokin luku $k$ siten, että se on kokonaisluku, niin luku $x$ on parillinen.

Matemaattisesti sen voisi esittää näin: $$x/2=k\text{.}$$

Muistelemalla yhtälönratkaisua tämän voi vielä muokata kertomalla puolittain luvulla 2, ja saadaan

$$x=2k\text{.}$$

Erilaisia parillisia lukuja saa sijoittamalla kokonaisluvun $k$ paikalle eri kokonaislukuja:

$$x=2·2=4\text{,}$$ $$x=2·5=10\text{,}$$ $$x=2·\mathrm{90}=180\text{.}$$

Kokeile itse pari!

Miltä parittomat luvut sitten näyttävät?

Parittomat luvut on helppo määritellä parillisiin lukuihin nojaten. Parittomien lukujen olennaisin ominaisuus on, että sellainen luku ei mene tasan jaettaessa luvulla 2.

Yksinkertaisimmillaan tämä saadaan aikaan käyttämällä parittomalla luvulla $y$ muotoa

$$y=2k+1\text{.}$$

Nyt aina, kun tällainen luku jaetaan kahdella, niin siitä jää 1 yli.

Erilaisia parittomia lukuja:

$$y=2·2+1=5\text{,}$$ $$y=2·5+1=11\text{,}$$ $$y=2·\mathrm{90}+1=181\text{.}$$

Saat siis mistä vain keksimästäsi parillisesta luvusta parittoman lisäämällä siihen yhden.

No, entä se 0?

Nyt voidaan tutkia, että voiko nollaa kirjoittaa kummallakaan parittoman luvun tai parittoman luvun tapaan. Tehtävänä on nyt saada joko $y=2k+1$ tai $x/2=k$ nollaksi.

Helpoimmin se ehkä tapahtuu kokeilemalla, että millä kokonaisluvun $k$:n arvolla saadaan jommasta kummasta muodosta luku 0.

Vaihtoehtoja ei ole monia. Kokeillaan lukua itseään eli entä jos $k=0$.

Nyt parittomana lukuna saataisiin

ja parillisena lukuna

Sieltähän se tuli! Kokeilemalla vielä eri lukuja $k$:n paikalle voit huomata, että nollaa ei saa muutoin ilmestymään - tai sitten voit myös tehdä yhtälön, jossa yrität ratkaista $k$:n arvon:

ja